📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei f(x)=a·x³+b·x²+c·x ist f''(x)=6a·x+2b eine Gerade — ihre einzige Nullstelle x0=−b/(3a) ist immer ein echter Wendepunkt (wie in Modul 5 gelernt). NEU in dieser Lektion: das Vorzeichen von a bestimmt auch die REIHENFOLGE der Krümmung links und rechts vom Wendepunkt. Ist a>0, ist f'' STEIGEND — sie ist links vom Wendepunkt negativ (konkav) und rechts davon positiv (konvex). Ist a<0, ist f'' FALLEND — links vom Wendepunkt positiv (konvex), rechts davon negativ (konkav). Der Koeffizient c hat auf diese Untersuchung KEINEN Einfluss — f''(x)=6a·x+2b hängt gar nicht von c ab.
a>0: links konkav, rechts konvex. a<0: links konvex, rechts konkav. c spielt für f'' keine Rolle.
Beispiel 1
Für f(x)=x³−9x²+5x (Wendepunkt bei x0=3): bestimme die Krümmung links und rechts von x0
f(x)=x³−9x²+5x, x0=3
- Links von x0 konkav, rechts von x0 konvex, denn f''(x)=6x−18 ist steigend (a=1>0), wechselt bei x0=3 von negativ zu positiv
- Links von x0 konvex, rechts von x0 konkav, die Reihenfolge vertauscht
- Das lässt sich ohne den Graphen nicht bestimmen
So kommst du darauf: f''(x)=6x−18. Da a=1>0 ist f'' steigend — links von x0 negativ (konkav), rechts positiv (konvex).
Beispiel 2
Warum spielt der Koeffizient c für die Krümmungsuntersuchung überhaupt keine Rolle?
Warum ist c irrelevant für f''?
- Weil f''(x)=6a·x+2b gar nicht von c abhängt — c fällt schon bei der zweiten Ableitung komplett weg (die Ableitung von c·x ist c, und die Ableitung der Konstante c ist 0)
- c beeinflusst zwar f'', aber nur bei negativen x-Werten
- c beeinflusst die Lage des Wendepunkts direkt
So kommst du darauf: f'(x)=3ax²+2bx+c, aber f''(x)=6ax+2b — c ist beim zweiten Ableiten bereits verschwunden.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum der Koeffizient c für die Krümmungsuntersuchung überhaupt keine Rolle spielt?"
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