📌 Das Wichtigste in einem Satz
Für f(x)=a·x³+b·x²+c·x dominiert bei sehr großen (positiven oder negativen) x-Werten der LEITTERM a·x³ — b·x² und c·x werden im Vergleich vernachlässigbar klein. Bei a>0: x³ wird für x→+∞ riesig positiv, für x→−∞ riesig negativ — also f(x)→+∞ bzw. f(x)→−∞. Bei a<0: genau umgekehrt. Eine vollständige Kurvendiskussion setzt ALLE Puzzleteile zusammen: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Extrema (mit Art), Wendepunkt (mit Krümmungswechsel), und das Verhalten im Unendlichen — erst zusammen ergeben sie ein vollständiges Bild des Graphen.
a>0: x→+∞⟹f(x)→+∞, x→−∞⟹f(x)→−∞. a<0: umgekehrt. Der Leitterm a·x³ entscheidet allein.
Beispiel 1
Für f(x)=x³−6x²+9x: bestimme das Verhalten für x→+∞ und x→−∞
f(x)=x³−6x²+9x
- Für x→+∞ geht f(x)→+∞, für x→−∞ geht f(x)→−∞, denn der Leitterm x³ dominiert und a=1>0
- Für x→+∞ geht f(x)→−∞, für x→−∞ geht f(x)→+∞, die Richtung vertauscht
- Beide Grenzwerte sind +∞, da x³ für jedes x positiv wird
So kommst du darauf: Der Leitterm x³ dominiert. Bei a=1>0: x→+∞ ⟹ f(x)→+∞, x→−∞ ⟹ f(x)→−∞.
Beispiel 2
Für f(x)=−x³+6x²+4x: bestimme das Verhalten für x→+∞ und x→−∞
f(x)=−x³+6x²+4x
- Für x→+∞ geht f(x)→−∞, für x→−∞ geht f(x)→+∞, denn der Leitterm −x³ dominiert und a=−1<0
- Für x→+∞ geht f(x)→+∞, für x→−∞ geht f(x)→−∞, die Richtung vertauscht
- Beide Grenzwerte sind −∞, da −x³ für jedes x negativ wird
So kommst du darauf: Der Leitterm −x³ dominiert. Bei a=−1<0: x→+∞ ⟹ f(x)→−∞, x→−∞ ⟹ f(x)→+∞.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum bei sehr großen x-Werten nur der Leitterm a·x³ zählt und b·x²+c·x vernachlässigbar werden?"
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