📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 6 im Überblick: eine vollständige Kurvendiskussion besteht aus sechs Schritten. (1) Definitionsbereich (bei Polynomen immer ℝ) und Symmetrie (nur gerade Exponenten ⟹ gerade, nur ungerade ⟹ ungerade, gemischt ⟹ weder noch). (2) f'(x) und f''(x) berechnen — auch den linearen Term c·x nicht vergessen. (3) Kritische Stellen (f'(x)=0, oft ZWEI bei einer Kubik) einzeln mit f'' klassifizieren. (4) Wendepunkt (f''(x)=0) und Krümmungsintervalle bestimmen — das Vorzeichen von a legt die Reihenfolge fest. (5) Verhalten im Unendlichen über den Leitterm a·x³. Erst alle sechs Schritte zusammen ergeben ein vollständiges Bild des Graphen.
Definitionsbereich & Symmetrie → Ableitungen → Extrema → Wendepunkt & Krümmung → Verhalten im Unendlichen.
Beispiel 1
Für f(x)=x³+4x²: bestimme die Symmetrie
f(x)=x³+4x²
- Weder gerade noch ungerade, denn f(−x)=−x³+4x² stimmt weder mit f(x) noch mit −f(x) überein
- Gerade, denn f(−x)=f(x)
- Ungerade, denn f(−x)=−f(x)
So kommst du darauf: Gemischte Exponenten (3 und 2), also weder noch.
Beispiel 2
Für f(x)=x³+3x²+5x: bestimme f'(x) und f''(x)
f(x)=x³+3x²+5x
- f'(x)=3x²+6x+5 und f''(x)=6x+6, denn jeder Term wird mit der Potenzregel abgeleitet
- f'(x)=3x²+6x, das konstante 5 vergessen
- f'(x)=3x²+6x+5 ist richtig, aber f''(x)=6x+6+5
So kommst du darauf: f'(x)=3x²+6x+5. f''(x)=6x+6.
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