📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die Methode bleibt gleich, egal welche Nebenbedingung vorkommt: Nebenbedingung nach einer Variable auflösen, dann in die Zielfunktion einsetzen. Beispiel: eine offene Schachtel (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge x und Höhe h soll ein FESTES Volumen V haben. Nebenbedingung: x²·h=V, also h=V/x². Zielfunktion (Oberfläche, zu minimieren): S=x²+4·x·h — nach dem Einsetzen von h wird daraus S(x)=x²+4V/x. Diesmal enthält die Zielfunktion nach dem Einsetzen einen Bruch mit x im Nenner — das ist immer noch eine Funktion EINER Variable, nur eben keine reine Polynomfunktion mehr.
x²·h=V ⟹ h=V/x². Einsetzen in S=x²+4xh ergibt S(x)=x²+4V/x.
Beispiel 1
Eine offene Schachtel mit quadratischer Grundfläche (Seite x) und Höhe h soll das Volumen V=32 haben. Stelle die Zielfunktion S(x) für die Oberfläche auf (S=x²+4xh)
V=32, Oberfläche S(x)?
- S(x)=x²+128/x, denn aus x²h=32 folgt h=32/x², und S=x²+4x·(32/x²)=x²+128/x
- S(x)=x²+4h, ohne die Nebenbedingung einzusetzen — h bleibt eine eigene Variable
- S(x)=x²+128x, das x im Nenner beim Einsetzen von h=32/x² vergessen
So kommst du darauf: x²h=32 ⟹ h=32/x². S=x²+4x·(32/x²)=x²+4·32/x=x²+128/x.
Beispiel 2
Warum enthält die Zielfunktion S(x)=x²+4V/x einen Bruch, obwohl S=x²+4xh vor dem Einsetzen kein Bruch war?
Warum entsteht ein Bruch beim Einsetzen?
- Weil h=V/x² selbst schon ein Bruch ist — beim Einsetzen in 4xh kürzt sich ein x aus x² heraus, es bleibt 4V/x, also weiterhin ein Bruch
- Ein Bruch entsteht nur durch einen Rechenfehler, in Wirklichkeit sollte S(x) bruchfrei sein
- Der Bruch entsteht, weil das Volumen V immer eine Bruchzahl sein muss
So kommst du darauf: h=V/x² ist ein Bruch. 4x·(V/x²)=4V/x — ein x kürzt sich, ein Bruch bleibt übrig.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum beim Einsetzen von h=V/x² in 4xh am Ende 4V/x herauskommt, nicht 4Vx?"
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