📌 Das Wichtigste in einem Satz
Jetzt wird die gesamte Methode zum ersten Mal komplett durchgerechnet: Nebenbedingung aufstellen und einsetzen (Lektion 1-2), dann das Extremwert-Werkzeug aus Modul 4-6 anwenden (Ableitung bilden, Nullstelle finden, mit f'' klassifizieren), und ZULETZT den Flächenwert selbst berechnen. Für ein Rechteck mit festem Umfang U ergibt sich immer x0=U/4 als optimale Seitenlänge — und weil bei einem Rechteck die zweite Seite y=U/2−x0=U/2−U/4=U/4 GENAUSO groß ist wie x0, ist das flächenmaximale Rechteck bei festem Umfang IMMER ein Quadrat. Das ist kein Zufall, sondern ein allgemeines geometrisches Prinzip.
x0=U/4 ist immer die optimale Seitenlänge — das flächenmaximale Rechteck bei festem Umfang ist immer ein Quadrat.
Beispiel 1
Für ein Rechteck mit Umfang U=20: bestimme die Seitenlänge x, bei der die Fläche maximal wird, und wie groß ist die maximale Fläche?
Umfang U=20, maximale Fläche?
- x=5 (ein Quadrat!), maximale Fläche A(5)=25, denn A(x)=10x−x², A'(x)=10−2x=0 ⟹ x=5, und A(5)=10·5−25=25
- x=−5, Fläche=−75, das Vorzeichen von x0 falsch bestimmt
- x=5, aber die Fläche wäre 10, die kritische Stelle richtig gefunden, aber falsch in die Funktion eingesetzt
So kommst du darauf: A(x)=10x−x². A'(x)=10−2x=0 ⟹ x=5. A(5)=50−25=25. Da y=10−5=5=x, ist es ein Quadrat.
Beispiel 2
Warum ist das flächenmaximale Rechteck bei festem Umfang IMMER ein Quadrat?
Warum immer ein Quadrat?
- Weil x0=U/4 die optimale Seitenlänge ist, und die zweite Seite y=U/2−x0=U/2−U/4=U/4 GENAUSO groß ist wie x0 — beide Seiten sind gleich lang
- Nur zufällig ergibt sich in einzelnen Beispielen ein Quadrat, es ist kein allgemeines Prinzip
- Ein Quadrat hat per Definition immer die größte Fläche, unabhängig vom Umfang
So kommst du darauf: x0=U/4 und y=U/2−U/4=U/4 sind immer gleich — das ist ein allgemeines Prinzip, kein Zufall.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum das flächenmaximale Rechteck bei festem Umfang immer ein Quadrat ist, nicht nur in diesem einen Beispiel?"
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