📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei Wirtschaftsaufgaben ist die Preis-Absatz-Funktion p(x)=a−x die Nebenbedingung: je mehr Stück x verkauft werden, desto niedriger der erzielbare Preis pro Stück. Der ERLÖS ist E(x)=x·p(x)=x(a−x)=ax−x². Aber der GEWINN ist NICHT der Erlös allein — man muss die KOSTEN abziehen: G(x)=E(x)−K(x). Bei Kosten K(x)=c·x (c=Kosten pro Stück) ergibt sich G(x)=ax−x²−cx=(a−c)x−x². Der klassische Fehler: den Erlös maximieren (x0=a/2) statt den GEWINN (x0=(a−c)/2) — das sind unterschiedliche Werte, sobald Kosten anfallen.
Gewinn = Erlös − Kosten. G(x)=(a−c)x−x², x0=(a−c)/2 — NICHT a/2 (das wäre nur der Erlös).
Beispiel 1
Preis-Absatz-Funktion p(x)=20−x, Kosten pro Stück c=4. Bestimme die gewinnmaximale Menge x und den maximalen Gewinn
p(x)=20−x, Kosten c=4
- x=8, maximaler Gewinn G(8)=64, denn G(x)=(20−4)x−x²=16x−x², G'(x)=16−2x=0 ⟹ x=8, und G(8)=128−64=64
- x=10, maximaler Gewinn G(10)=100, den Erlös maximiert (x0=a/2=10), die Kosten dabei nicht abgezogen
- x=8, aber der Gewinn wäre 16, die kritische Stelle richtig gefunden, aber falsch in die Funktion eingesetzt
So kommst du darauf: G(x)=(20−4)x−x²=16x−x². G'(x)=16−2x=0 ⟹ x=8. G(8)=128−64=64.
Beispiel 2
Warum ist die gewinnmaximale Menge NICHT dieselbe wie die erlösmaximale Menge, sobald Kosten anfallen?
Warum unterscheiden sich Gewinn- und Erlösmaximum?
- Weil der Gewinn G(x)=E(x)−K(x) ist — sobald K(x)=cx mit c>0 abgezogen wird, verschiebt sich die Zielfunktion, und ihr Maximum liegt bei x0=(a−c)/2, nicht mehr bei x0=a/2
- Gewinn und Erlös sind eigentlich dasselbe, nur anders benannt
- Die gewinnmaximale Menge ist immer um genau die Hälfte kleiner als die erlösmaximale Menge
So kommst du darauf: Das Abziehen der Kosten verschiebt die Zielfunktion — ihr Maximum liegt bei (a−c)/2, nicht bei a/2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die gewinnmaximale Menge x0=(a−c)/2 ist, und NICHT dieselbe Menge wie beim erlösmaximalen x0=a/2?"
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