📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei praktischen Extremwertaufgaben gibt es oft eine zusätzliche EINSCHRÄNKUNG: x darf nur in einem bestimmten Bereich [p,q] liegen (z.B. wegen der Größe des verfügbaren Materials). Das freie Maximum bei x0=b/2 (ohne diese Einschränkung) kann dabei AUSSERHALB von [p,q] liegen! In diesem Fall ist x0 gar nicht erreichbar — man muss stattdessen prüfen, wie sich A(x) INNERHALB von [p,q] verhält. Liegt x0 rechts von q (also x0>q), dann ist A(x)=bx−x² auf dem GESAMTEN Intervall [p,q] noch streng monoton STEIGEND (da A'(x)=b−2x>0 für alle x
Liegt das freie Maximum x0=b/2 außerhalb von [p,q] (x0>q), ist A(x) auf [p,q] monoton steigend — Maximum bei x=q.
Beispiel 1
A(x)=10x−x² auf dem erlaubten Bereich [1,3] (das freie Maximum läge bei x0=5, außerhalb!). Bestimme das Maximum von A auf [1,3]
A(x)=10x−x², erlaubt: [1,3], freies Max bei x0=5
- x=3 (Randextremum!), maximale Fläche A(3)=21, denn x0=5 liegt außerhalb von [1,3], und A ist auf [1,3] streng monoton steigend (A'(x)=10−2x>0 für x<5), also liegt das Maximum am rechten Rand
- x=5, maximale Fläche A(5)=25, das freie Maximum verwendet, ohne zu prüfen, ob es im erlaubten Bereich liegt
- x=1, maximale Fläche A(1)=9, den falschen Rand gewählt
So kommst du darauf: x0=5 liegt außerhalb von [1,3]. Da A dort monoton steigt, liegt das Maximum am rechten Rand: A(3)=30−9=21.
Beispiel 2
Warum darf man das freie Maximum x0=b/2 nicht einfach verwenden, ohne zu prüfen, ob es im erlaubten Bereich [p,q] liegt?
Warum x0 erst prüfen?
- Weil x0 außerhalb von [p,q] praktisch gar nicht erreichbar ist — die Aufgabe erlaubt diesen x-Wert gar nicht, das tatsächliche Maximum muss dann am Rand des erlaubten Bereichs liegen
- x0=b/2 ist immer im erlaubten Bereich, eine Prüfung ist nie nötig
- Der erlaubte Bereich [p,q] hat auf das Maximum überhaupt keinen Einfluss
So kommst du darauf: x0 kann außerhalb des erlaubten Bereichs liegen — dann ist es keine gültige Lösung, das Maximum muss am Rand gesucht werden.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum ich zuerst prüfen muss, ob das freie Maximum x0 überhaupt im erlaubten Bereich [p,q] liegt, bevor ich es als Lösung verwende?"
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