📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 7 im Überblick: eine Extremwertaufgabe hat immer eine Zielfunktion (zu optimierende Größe, zunächst mit zwei Variablen) und eine Nebenbedingung (Einschränkung, die die Variablen verbindet). Nebenbedingung nach einer Variable auflösen und einsetzen ergibt eine Funktion einer Variable — egal ob bei einem festen Umfang (Geometrie) oder einer Preis-Absatz-Funktion (Wirtschaft, wo man zusätzlich Gewinn=Erlös−Kosten beachten muss). Danach das bekannte Werkzeug anwenden: Ableitung bilden, Nullstelle finden, mit f'' klassifizieren. Und: immer prüfen, ob das freie Extremum überhaupt im erlaubten Bereich liegt — sonst liegt das echte Extremum an einem Rand.
Zielfunktion + Nebenbedingung → einsetzen → Extremum bestimmen → prüfen, ob im erlaubten Bereich.
Beispiel 1
Was ist die "Nebenbedingung" bei einer Extremwertaufgabe?
Was ist die Nebenbedingung?
- Die Einschränkung (z.B. ein fester Umfang oder ein festes Volumen), die die beiden Variablen der Zielfunktion miteinander verbindet
- Die Größe, die maximal oder minimal werden soll
- Ein zweiter, unabhängiger Extremwert, den man zusätzlich berechnen muss
So kommst du darauf: Die Nebenbedingung verbindet die Variablen.
Beispiel 2
Für ein Rechteck mit Umfang U=20: bestimme die Seitenlänge x, bei der die Fläche maximal wird, und wie groß ist die maximale Fläche?
Umfang U=20, maximale Fläche?
- x=5 (ein Quadrat!), maximale Fläche A(5)=25, denn A(x)=10x−x², A'(x)=10−2x=0 ⟹ x=5, und A(5)=25
- x=−5, Fläche=−75, das Vorzeichen von x0 falsch bestimmt
- x=5, aber die Fläche wäre 10, falsch in die Funktion eingesetzt
So kommst du darauf: A(x)=10x−x². A'(5)=0 ⟹ x=5. A(5)=25.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der fünf Themen aus Modul 7 fällt mir noch am schwersten?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu M7-Meisterprüfung. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen