📌 Das Wichtigste in einem Satz
Für exponentielles Wachstum N(t)=N0·e^(k·t) (N0=Anfangsbestand, k=Wachstumskonstante) gilt eine bemerkenswerte Eigenschaft: die Ableitung ist N'(t)=k·N0·e^(k·t)=k·N(t) — die WACHSTUMSRATE ist proportional zum AKTUELLEN Bestand, nicht konstant! Das unterscheidet exponentielles von linearem Wachstum: bei linearem Wachstum ist die Änderungsrate immer GLEICH GROSS, bei exponentiellem Wachstum wird sie mit wachsendem Bestand immer GRÖSSER. Bei t=0 (Start) ist N'(0)=k·N0·e^0=k·N0 — die Wachstumsrate zu Beginn.
N'(t)=k·N(t). Wachstumsrate proportional zum aktuellen Bestand — nicht konstant wie bei linearem Wachstum.
Beispiel 1
Eine Bakterienkultur wächst nach N(t)=10·e^(k·t) mit k=3. Bestimme die Wachstumsrate N'(0) zum Zeitpunkt t=0
N(t)=10·e^(3t), t=0
- N'(0)=30, denn N'(t)=k·N0·e^(kt)=3·10·e^(3t), und N'(0)=3·10·e^0=3·10·1=30
- N'(0)=10, den Faktor k vergessen
- N'(0)=3, den Faktor N0 vergessen
So kommst du darauf: N'(t)=k·N0·e^(kt). N'(0)=k·N0·e^0=k·N0=3·10=30.
Beispiel 2
Warum ist die Wachstumsrate N'(t)=k·N(t) bei exponentiellem Wachstum NICHT konstant, im Gegensatz zu linearem Wachstum?
Warum ist die Wachstumsrate nicht konstant?
- Weil N'(t) proportional zum AKTUELLEN Bestand N(t) ist — je größer N(t) wird, desto größer wird auch N'(t). Bei linearem Wachstum ist die Änderungsrate dagegen immer gleich groß, unabhängig vom Bestand
- N'(t) ist bei exponentiellem Wachstum immer 0, also konstant null
- Die Wachstumsrate ist auch bei exponentiellem Wachstum konstant, genau wie bei linearem Wachstum
So kommst du darauf: N'(t)=k·N(t) — die Rate wächst mit, weil sie proportional zum aktuellen Bestand ist.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die Wachstumsrate bei exponentiellem Wachstum NICHT konstant ist, im Gegensatz zu linearem Wachstum?"
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