📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 8 im Überblick: die Ableitung ist IMMER eine momentane Änderungsrate — egal ob Geschwindigkeit v(t)=s'(t), Grenzkosten K'(x), Änderungsrate eines Volumens V'(t), oder Wachstumsrate N'(t)=k·N(t). Grenzkosten sind NICHT die Durchschnittskosten K(x)/x. Am Gewinnoptimum gilt Grenzerlös=Grenzkosten. Das Newton-Verfahren nähert Nullstellen mit x1=x0−f(x0)/f'(x0) an — der Tangente folgend. Bei exponentiellem Wachstum ist die Wachstumsrate proportional zum aktuellen Bestand, nicht konstant wie bei linearem Wachstum.
Ableitung = momentane Änderungsrate, in jedem Kontext. Newton-Verfahren: x1=x0−f(x0)/f'(x0).
Beispiel 1
Für s(t)=t²+4t (Weg in Metern, t in Sekunden): bestimme die Momentangeschwindigkeit v(3)
s(t)=t²+4t, t=3
- v(3)=10, denn v(t)=s'(t)=2t+4, und v(3)=2·3+4=10
- v(3)=21, den Wegwert s(3) selbst berechnet
- v(3)=7, den Faktor 2 vergessen
So kommst du darauf: v(t)=2t+4. v(3)=10.
Beispiel 2
Kostenfunktion K(x)=x²+3x+8 (Fixkosten 8, x in Stück). Bestimme die Grenzkosten K'(3)
K(x)=x²+3x+8, x=3
- K'(3)=9, denn K'(x)=2x+3, und K'(3)=2·3+3=9
- K'(3)=32/3, die Durchschnittskosten berechnet
- K'(3)=3, den Faktor 2 vergessen
So kommst du darauf: K'(x)=2x+3. K'(3)=9.
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