📌 Das Wichtigste in einem Satz
In Lektion 1 hast du nur EINE Lösung im Bereich [0°,90°] gefunden. Aber die Sinusfunktion ist symmetrisch: sin(180°−x)=sin(x) — das kennst du schon aus Modul 1 (6. Klasse) als Symmetrie-Eigenschaft. Deshalb hat sin(x)=a im vollen Bereich [0°,360°) meist ZWEI Lösungen: die "erste" Lösung α und die "zweite" Lösung 180°−α. Ausnahme: bei a=1 (Maximum bei 90°) oder a=−1 gibt es nur EINE Lösung, weil 180°−90°=90° auf denselben Punkt fällt. Und für ALLE reellen Lösungen (nicht nur [0°,360°)) addiert man wegen der Periode 360° noch k·360° dazu, für jede ganze Zahl k.
sin(x)=a hat im Bereich [0°,360°) meist ZWEI Lösungen: α und 180°−α. Für alle Lösungen: +k·360°.
Beispiel 1
Löse sin(x)=0,5 für x∈[0°,360°) — finde ALLE Lösungen
sin(x)=0,5, x∈[0°,360°)
- x=30° oder x=150°, denn sin(180°−x)=sin(x), also ist auch 180°−30°=150° eine Lösung
- nur x=30°, die zweite Lösung bei 150° vergessen
- x=30° oder x=210°, falsch berechnet (180°+30° statt 180°−30°)
So kommst du darauf: Neben x=30° ist auch 180°−30°=150° eine Lösung, wegen sin(180°−x)=sin(x).
Beispiel 2
Warum hat sin(x)=1 nur EINE Lösung im Bereich [0°,360°), obwohl die meisten sin-Gleichungen zwei Lösungen haben?
Warum nur eine Lösung bei sin(x)=1?
- Weil die zweite Lösung 180°−90°=90° auf denselben Punkt fällt wie die erste — bei x=90° liegt das Maximum, wo sich beide Lösungen zu einer einzigen zusammenfallen
- sin(x)=1 hat gar keine Lösung
- sin(x)=1 hat immer unendlich viele verschiedene Lösungen im Bereich [0°,360°)
So kommst du darauf: 180°−90°=90° — die beiden Lösungen fallen beim Maximum zusammen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum sin(x)=1 nur EINE Lösung im Bereich [0°,360°) hat, während die meisten anderen sin-Gleichungen ZWEI haben?"
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