📌 Das Wichtigste in einem Satz
Kosinus- und Tangens-Gleichungen brauchen JEWEILS EIGENE Symmetrie-Regeln, nicht dieselbe wie Sinus. Für cos(x)=a gilt cos(360°−x)=cos(x) — die zweite Lösung im Bereich [0°,360°) ist also 360°−α, NICHT 180°−α wie bei Sinus (weil der Kosinus-Graph anders symmetrisch ist: achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. zu x=360°/x=0°, nicht punktsymmetrisch wie der Sinus um 90°/270°). Für tan(x)=a gilt: die Tangensfunktion hat die Periode 180° (nicht 360°!), deshalb gibt es im Bereich [0°,360°) bereits ZWEI Lösungen (α und α+180°) — aber innerhalb EINER Periode [0°,180°) nur EINE einzige Lösung.
cos(x)=a: zweite Lösung = 360°−α. tan(x)=a: Periode 180°, also nur eine Lösung pro 180°-Intervall.
Beispiel 1
Löse cos(x)=0,5 für x∈[0°,360°) — finde ALLE Lösungen
cos(x)=0,5, x∈[0°,360°)
- x=60° oder x=300°, denn cos(360°−x)=cos(x), also ist auch 360°−60°=300° eine Lösung
- x=60° oder x=150°, die Sinus-Formel (180°−α) statt der Kosinus-Formel (360°−α) verwendet
- nur x=60°, die zweite Lösung vergessen
So kommst du darauf: cos(360°−x)=cos(x). Zweite Lösung: 360°−60°=300°.
Beispiel 2
Warum ist die zweite Lösung bei cos(x)=a gleich 360°−α, während sie bei sin(x)=a gleich 180°−α ist?
Warum unterscheiden sich die Formeln?
- Weil sin und cos unterschiedliche Symmetrien haben: sin(180°−x)=sin(x) (Symmetrie um 90°), aber cos(360°−x)=cos(x) (Symmetrie um 0°/360°) — jede Funktion hat ihre EIGENE Formel
- Es ist ein Zufall, die Formeln könnten vertauscht werden ohne Unterschied
- Kosinus hat gar keine zweite Lösung, nur Sinus
So kommst du darauf: sin und cos haben unterschiedliche Symmetrieachsen — deshalb unterschiedliche Formeln für die zweite Lösung.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die zweite Lösung bei Kosinus 360°−α ist, bei Sinus aber 180°−α?"
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