📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei sin(2x)=a steht nicht x im Sinus, sondern 2x — ein "mehrfacher Winkel". Die Methode: substituiere u=2x, löse die GEWOHNTE Gleichung sin(u)=a wie gewohnt (u=α), und dividiere ERST AM ENDE durch 2, um x=u/2 zu erhalten. Der klassische Fehler: den letzten Schritt (das Teilen durch 2) zu vergessen und einfach x=α zu setzen. Zusätzlicher Effekt: weil u=2x über einen DOPPELT so großen Bereich läuft wie x (wenn x∈[0°,360°) durchläuft, durchläuft u=2x den Bereich [0°,720°)), gibt es am Ende sogar MEHR Lösungen als bei der einfachen Gleichung sin(x)=a.
sin(2x)=a: substituiere u=2x, löse sin(u)=a, dann x=u/2. Das Teilen durch 2 am Ende nicht vergessen!
Beispiel 1
Löse sin(2x)=0,5. Bestimme die kleinste positive Lösung x
sin(2x)=0,5
- x=15°, denn mit u=2x wird aus sin(2x)=0,5 die Gleichung sin(u)=0,5, also u=30°, und damit x=u/2=30°/2=15°
- x=30°, das Teilen durch 2 am Ende vergessen (u=30° direkt als x übernommen)
- x=60°, mit u=2x multipliziert statt dividiert (x=2·30°=60° statt x=30°/2)
So kommst du darauf: u=2x, sin(u)=0,5 ⟹ u=30°. x=u/2=15°.
Beispiel 2
Löse sin(2x)=1. Bestimme die kleinste positive Lösung x
sin(2x)=1
- x=45°, denn mit u=2x wird aus sin(2x)=1 die Gleichung sin(u)=1, also u=90°, und damit x=u/2=90°/2=45°
- x=90°, das Teilen durch 2 am Ende vergessen
- x=180°, mit u=2x multipliziert statt dividiert
So kommst du darauf: u=2x, sin(u)=1 ⟹ u=90°. x=u/2=45°.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum sin(2x)=a am Ende MEHR Lösungen hat als sin(x)=a, im selben Bereich [0°,360°)?"
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