📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die Stammfunktion von e^(kx) ist (1/k)·e^(kx) — man teilt durch den Faktor k im Exponenten (die Umkehrung der Kettenregel beim Ableiten). Bei den Winkelfunktionen gibt es eine Überraschung: die Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x) MIT Minus, während die Stammfunktion von cos(x) ist sin(x) OHNE Minus. Grund: man prüft immer durchs Ableiten — (−cos(x))'=sin(x)✓, aber (cos(x))'=−sin(x), also braucht sin(x)s Stammfunktion das Minus, damit die Ableitung wieder stimmt.
∫e^(kx)dx=(1/k)e^(kx). ∫sin(x)dx=−cos(x) (MIT Minus!). ∫cos(x)dx=sin(x) (ohne Minus).
Beispiel 1
Bestimme eine Stammfunktion von f(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)
- F(x)=−cos(x), denn die Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x) (mit Minus!)
- F(x)=cos(x), das Minus vor cos(x) vergessen
- F(x)=sin(x), sin(x) selbst als Stammfunktion übernommen
So kommst du darauf: (−cos(x))'=sin(x).
Beispiel 2
Warum steht bei der Stammfunktion von sin(x) ein MINUS vor cos(x) (∫sin(x)dx=−cos(x)+C), aber bei der Stammfunktion von cos(x) KEIN Minus (∫cos(x)dx=sin(x)+C)?
Warum das Minus nur bei sin(x)?
- Weil (−cos(x))'=sin(x) ist (die Ableitung von cos(x) ist −sin(x), also kehrt das Minus beim Ableiten von −cos(x) wieder um zu +sin(x)) — man prüft die Stammfunktion durchs Ableiten, und nur mit dem Minus vor cos(x) stimmt das Ergebnis
- Das Minus ist reine Konvention, ohne mathematischen Grund
- Bei BEIDEN, sin(x) und cos(x), steht ein Minus vor der Stammfunktion — nur wird es oft weggelassen
So kommst du darauf: (−cos(x))'=sin(x) — das Minus macht die Probe richtig.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum genau bei sin(x) (und nicht bei cos(x)) ein Minus in der Stammfunktion auftaucht?"
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