📌 Das Wichtigste in einem Satz
Zu jeder Funktion f(x) gibt es nicht nur EINE Stammfunktion, sondern unendlich viele — sie unterscheiden sich alle nur um eine Konstante C. Das liegt daran, dass die Ableitung einer Konstante immer 0 ist: (F(x)+C)'=F'(x)+0=F'(x). Deshalb schreibt man die "allgemeine Stammfunktion" immer als F(x)+C. Sind F₁(x) und F₂(x) beide Stammfunktionen derselben Funktion, dann ist F₁(x)−F₂(x) immer eine Konstante — nie eine Funktion mit x darin.
Allgemeine Stammfunktion: F(x)+C, C∈ℝ beliebig. (F(x)+C)'=F'(x). Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante.
Beispiel 1
Warum schreibt man bei einer Stammfunktion immer „+C" dazu?
Warum +C?
- Weil die Ableitung einer beliebigen Konstante immer 0 ist — F(x)+C hat für JEDES C dieselbe Ableitung wie F(x)
- Weil C für eine bestimmte, immer gleiche Zahl steht, die man auswendig kennen muss
- C ist nur eine Formalität ohne mathematische Bedeutung, die man beim Rechnen weglassen kann
So kommst du darauf: (F(x)+C)'=F'(x)+0=F'(x) — das gilt für jede Zahl C.
Beispiel 2
F(x)=x² ist eine Stammfunktion von f(x)=2x. Welche der folgenden Funktionen ist AUCH eine Stammfunktion von f(x)=2x?
f(x)=2x, F(x)=x²
- x²+5, denn (x²+5)'=2x+0=2x=f(x)
- x²+x, denn ein zusätzliches x wurde addiert
- 2x², das Doppelte von F(x)
So kommst du darauf: (x²+5)'=2x. Bei x²+x wäre die Ableitung 2x+1≠2x. Bei 2x² wäre die Ableitung 4x≠2x.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WARUM man bei einer Stammfunktion immer +C dazuschreibt — und was am Ende bei F₁(x)−F₂(x) herauskommt, wenn beide Stammfunktionen derselben Funktion sind?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Die Integrationskonstante C. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen