📌 Das Wichtigste in einem Satz
Aus der allgemeinen Stammfunktion F(x)+C wird durch eine Anfangsbedingung — einen bekannten Punkt (x₀|y₀) auf dem Graphen — eine EINZIGE bestimmte Funktion. Vorgehen: erst die allgemeine Stammfunktion bilden, dann den Punkt einsetzen (F(x₀)=y₀) und nach C auflösen: C=y₀−F(x₀) (wobei F(x₀) hier ohne C berechnet wird).
Allgemein: F(x)+C. Mit Punkt (x₀|y₀): C=y₀−F(x₀). Erst einsetzen, dann nach C auflösen — nicht C=y₀ setzen!
Beispiel 1
f(x)=2x. Bestimme die Stammfunktion F(x), deren Graph durch den Punkt P(1|4) geht.
f(x)=2x, P(1|4)
- F(x)=x²+3, denn die allgemeine Stammfunktion ist x²+C, und aus F(1)=4 folgt 1+C=4, also C=3
- F(x)=x²+4, denn C wurde einfach gleich dem y-Wert des Punktes gesetzt
- F(x)=x², das C beim Einsetzen des Punktes ganz vergessen
So kommst du darauf: 1²+3=4, der Punkt passt.
Beispiel 2
Man kennt die allgemeine Stammfunktion F(x)+C einer Funktion f(x). Warum reicht das allein noch nicht, um EINE bestimmte Funktion anzugeben?
F(x)+C — warum nicht eindeutig?
- Weil C für jede beliebige Zahl stehen kann — ohne einen Punkt auf dem Graphen bleibt C unbekannt
- Weil man C immer durch Ableiten von F(x) berechnen kann, es fehlt nur der Rechenschritt
- Weil F(x)+C ohnehin nur eine einzige gültige Funktion beschreibt
So kommst du darauf: F(x)+C beschreibt unendlich viele Funktionen, je nach Wert von C.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch die REIHENFOLGE: erst die allgemeine Stammfunktion bilden, DANN den Punkt einsetzen, und dass C NICHT einfach der y-Wert ist?"
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