📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 1 im Überblick: eine Stammfunktion F(x) von f(x) erfüllt F'(x)=f(x) — geprüft durch Ableiten. Bei Potenzfunktionen a·xⁿ wird der Exponent um 1 erhöht UND der Koeffizient durch den neuen Exponenten geteilt: (a/(n+1))·xⁿ⁺¹. Bei e^(kx) teilt man durch k. Bei sin(x) taucht ein Minus auf (∫sin(x)dx=−cos(x)), bei cos(x) nicht (∫cos(x)dx=sin(x)). Jede Stammfunktion braucht ein „+C", weil die Ableitung einer Konstante 0 ist — erst ein bekannter Punkt (x₀|y₀) legt C eindeutig fest: C=y₀−F(x₀).
F'(x)=f(x). a·xⁿ → (a/(n+1))xⁿ⁺¹. e^(kx) → (1/k)e^(kx). sin(x) → −cos(x). cos(x) → sin(x). Immer +C. Mit Punkt: C=y₀−F(x₀).
Beispiel 1
Bestimme eine Stammfunktion von f(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)
- F(x)=−cos(x), denn die Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x) (mit Minus!)
- F(x)=cos(x), das Minus vor cos(x) vergessen
- F(x)=sin(x), sin(x) selbst als Stammfunktion übernommen
So kommst du darauf: (−cos(x))'=sin(x).
Beispiel 2
F(x)=x² ist eine Stammfunktion von f(x)=2x. Welche der folgenden Funktionen ist AUCH eine Stammfunktion von f(x)=2x?
f(x)=2x, F(x)=x²
- x²+5, denn (x²+5)'=2x+0=2x=f(x)
- x²+x, denn ein zusätzliches x wurde addiert
- 2x², das Doppelte von F(x)
So kommst du darauf: (x²+5)'=2x. Bei x²+x wäre die Ableitung 2x+1≠2x.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der fünf Themen aus Modul 1 fällt mir noch am schwersten — Erkennen, Potenzfunktionen, Exponential/Trig, die Konstante C, oder Anfangsbedingungen?"
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