📌 Das Wichtigste in einem Satz
Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x)dx beschreibt (solange f(x)≥0 im Intervall [a;b] ist) den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und den senkrechten Geraden x=a und x=b. Für einfache Formen kennst du die Fläche schon aus der Geometrie: eine konstante Funktion ergibt ein Rechteck (A=Breite·Höhe, Breite=b−a), eine Ursprungsgerade ergibt ein Dreieck (A=½·Grundseite·Höhe). Diese geometrischen Formeln sind ein erster Zugang — der Hauptsatz (nächste Lektion) liefert dann eine allgemeine Methode für JEDE Funktion.
∫ₐᵇ f(x)dx = Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse (für f(x)≥0). Rechteck: A=(b−a)·Höhe. Dreieck: A=½·Grundseite·Höhe.
Beispiel 1
f(x)=4 ist eine konstante Funktion. Bestimme den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und den Geraden x=1 und x=5.
f(x)=4, Intervall [1;5]
- A=16, denn die Fläche ist ein Rechteck mit Breite 5−1=4 und Höhe 4: A=4·4=16
- A=20, die obere Grenze 5 statt der Breite 4 verwendet
- A=4, nur die Höhe angegeben, aber nicht mit der Breite multipliziert
So kommst du darauf: Breite 5−1=4, Höhe 4, A=4·4=16.
Beispiel 2
Was stellt das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x)dx geometrisch dar, wenn f(x)≥0 im gesamten Intervall [a;b] ist?
∫ₐᵇ f(x)dx, f(x)≥0 auf [a;b]
- Den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und den beiden senkrechten Geraden x=a und x=b
- Den Funktionswert f(b) — also die Höhe des Graphen an der oberen Grenze
- Die Steigung des Graphen im Intervall [a;b]
So kommst du darauf: Das Integral misst Fläche, nicht einen einzelnen Wert oder eine Steigung.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass die Breite eines Flächenstücks die DIFFERENZ b−a ist, nicht einfach die obere Grenze b?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Das bestimmte Integral als Flächeninhalt. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen