📌 Das Wichtigste in einem Satz
Wenn man nicht die GANZE Grundgesamtheit befragen kann, befragt man eine Stichprobe von n Personen und schätzt daraus den Anteilswert p̂=k:n (k=Anzahl der Zustimmenden). Diese Schätzung ist aber nicht perfekt — sie streut von Stichprobe zu Stichprobe. Wie stark sie streut, misst der Standardfehler σ=√(p̂·(1−p̂)/n). Die entscheidende Einsicht: n steht im NENNER unter der Wurzel — je GRÖSSER die Stichprobe, desto KLEINER der Standardfehler, desto genauer die Schätzung.
p̂=k:n (Anteilswert der Stichprobe). σ=√(p̂·(1−p̂)/n) (Standardfehler). Größeres n → kleineres σ → genauere Schätzung.
Beispiel 1
In einer Stichprobe von n=50 Personen antworten k=35 Personen zustimmend. Wie groß ist der Anteilswert p̂ (in Prozent)?
n=50, k=35 — gesucht: p̂
- p̂=70 %, denn p̂=35:50=70 %
- p̂=35 %, die absolute Anzahl k mit dem Anteilswert verwechselt
- p̂=50 %, die Gesamtzahl n mit dem Anteilswert verwechselt
So kommst du darauf: p̂=k:n=35:50=70 %.
Beispiel 2
Eine Stichprobe von n=100 Personen ergibt einen Anteilswert von p̂=20 %. Berechne den Standardfehler σ=√(p̂·(1−p̂)/n) in Prozentpunkten.
p̂=20 %, n=100 — gesucht: σ
- σ=4 Prozentpunkte, denn σ=√(20·80/100)=√16=4
- σ=16, die Wurzel vergessen (das ist die Varianz)
- σ=40, vergessen, durch n zu teilen, bevor die Wurzel gezogen wird
So kommst du darauf: σ=√(20·80/100)=√16=4.
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„Verstehe ich wirklich, warum eine größere Stichprobe zu einem kleineren Standardfehler führt — und nicht umgekehrt?"
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