📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 9 im Überblick: Bei Kurvenscharen f_a(x)=x³−a·x findet man den Parameter a, indem man einen Punkt oder eine Bedingung (z. B. eine Extremstelle über f_a'(x)=0) einsetzt und nach a auflöst. Bei der Rotation um die y-ACHSE (statt der x-Achse) braucht man x als Funktion von y (x=g(y)) und integriert V=π∫[g(y)]²dy über y statt über x. Die Trapezregel T=h/2·(y0+2y1+y2) nähert ein Integral, indem der MITTLERE Stützwert (der zu zwei Trapezen gehört) den Faktor 2 bekommt. Und bei Bestandsfunktionen gilt: die Änderungsrate r(t)=B'(t) ist die ABLEITUNG des Bestands — eine Extremstelle von B liegt genau dort, wo r(t) das Vorzeichen wechselt.
Kurvenschar: Punkt/Bedingung einsetzen, nach a auflösen. y-Rotation: x=g(y), V=π∫[g(y)]²dy. Trapezregel: mittlerer Wert×2. Bestand: r(t)=B'(t), Extremstelle bei Vorzeichenwechsel.
Beispiel 1
Die Kurvenschar f_a(x)=x³−a·x hat bei x=1 eine Extremstelle. Für welchen Wert von a gilt das?
f_a(x)=x³−a·x, Extremstelle bei x=1 — gesucht: a
- a=3, denn f_a'(x)=3x²−a, und f_a'(1)=0 führt zu 3·1²−a=0, also a=3
- a=1, den Faktor 3 beim Quadrieren vergessen
- a=6, die zweite Ableitung f_a''(x)=6x statt der ersten Ableitung verwendet
So kommst du darauf: 3·1²−a=0 → a=3.
Beispiel 2
x=3y (also x als Funktion von y) wird im Intervall [0;2] (für y) um die y-Achse rotiert. Berechne das Volumen des Rotationskörpers.
x=3y, Rotation um die y-Achse, y∈[0;2]
- V=24π, denn [g(y)]²=(3y)²=9y², V=π·∫₀²9y²dy=π·[3y³]₀²=24π
- V=8π, x=g(y) NICHT quadriert, sondern direkt integriert
- V=24 (ohne π), den Faktor π vergessen
So kommst du darauf: (3y)²=9y², V=π·[3y³]₀²=24π.
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„Welches der vier Themen aus Modul 9 fällt mir noch am schwersten — Kurvenscharen, y-Achsen-Rotation, die Trapezregel, oder Bestandsfunktionen?"
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