📌 Das Wichtigste in einem Satz
Ein Abkühlungsmodell T(t)=U+diff·0,5^t verbindet drei Fragestellungen in einer Sachsituation: der ANFANGSWERT (t=0) ergibt sich aus 0,5⁰=1, also T(0)=U+diff. Der GRENZWERT (t→∞) ergibt sich daraus, dass 0,5^t für wachsendes t gegen 0 geht, also bleibt nur die Konstante U übrig — die Umgebungstemperatur. Und ein KONKRETER ZEITPUNKT wird einfach durch Einsetzen von t berechnet, wobei die Konstante U am Ende nicht vergessen werden darf.
T(t)=U+diff·0,5^t. T(0)=U+diff (Anfangswert). T(t)→U für t→∞ (Grenzwert). Für einen Zeitpunkt: t einsetzen, U am Ende addieren.
Beispiel 1
Ein heißes Getränk mit der Anfangstemperatur 180 °C kühlt in einem Raum mit 20 °C Umgebungstemperatur ab. Die Temperatur wird modelliert durch T(t)=20+160·0,5^t (t in Minuten). Welche Temperatur zeigt das Modell für t=0?
T(t)=20+160·0,5^t — gesucht: T(0)
- 180 °C, denn 0,5⁰=1, also T(0)=20+160·1=180
- 20 °C, den zweiten Term komplett weggelassen
- 0 °C, 0,5⁰ fälschlich als 0 angenommen
So kommst du darauf: 0,5⁰=1, also T(0)=20+160=180.
Beispiel 2
Dasselbe Modell T(t)=20+160·0,5^t. Welcher Temperatur nähert sich das Getränk für sehr große t an?
T(t)=20+160·0,5^t — gesucht: Grenzwert für t→∞
- 20 °C, denn 0,5^t→0 für t→∞, also T(t)→20
- 0 °C, die gesamte Formel gegen 0 gehen lassen
- 180 °C, den Anfangswert mit dem Grenzwert verwechselt
So kommst du darauf: Nur der Term 160·0,5^t geht gegen 0, die Konstante 20 bleibt.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Verstehe ich, warum der Grenzwert die UMGEBUNGSTEMPERATUR ist und nicht null — obwohl der Term diff·0,5^t gegen null geht?"
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