📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine Gewinnfunktion G(x)=−ax²+bx−c fasst drei klassische Teilfragen zu einer Sachsituation zusammen. Die GEWINNSCHWELLEN (Nullstellen) sind die Stellen, wo G(x)=0 gilt — sie liegen symmetrisch um die Extremstelle. Die GEWINNMAXIMALE STÜCKZAHL ist die Extremstelle, gefunden über G'(x)=0. Und der MAXIMALE GEWINN ist der Funktionswert G an dieser Extremstelle — man setzt die gefundene Stückzahl wieder in die ursprüngliche Funktion G(x) ein, nicht in die Ableitung.
Nullstellen: G(x)=0. Extremstelle: G'(x)=0. Maximaler Gewinn: G(Extremstelle) — die Stückzahl in G(x) einsetzen, nicht in G'(x).
Beispiel 1
Ein Unternehmen hat die Gewinnfunktion G(x)=−2x²+40x−182 (Gewinn G in Tausend Euro bei x Tausend produzierten Stück, x≥0). Berechne die Gewinnschwellen (Nullstellen von G).
G(x)=−2x²+40x−182 — gesucht: Nullstellen
- x₁=7, x₂=13, denn die Parabel ist symmetrisch um x0=10 mit Radius 3
- x₁=−13, x₂=−7, das Vorzeichen der Extremstelle falsch übernommen
- x₁=10, x₂=10, die Extremstelle mit den Nullstellen verwechselt
So kommst du darauf: Symmetrisch um x0=10, Radius 3: 7 und 13.
Beispiel 2
Dieselbe Gewinnfunktion G(x)=−2x²+40x−182. Bei welcher Stückzahl x ist der Gewinn maximal?
G(x)=−2x²+40x−182 — gesucht: gewinnmaximale Stückzahl
- x=10, denn G'(x)=−4x+40=0 führt zu x=40/4=10
- x=20, den Faktor 2 in der Ableitung vergessen
- x=−10, das Vorzeichen falsch gesetzt
So kommst du darauf: G'(x)=−4x+40=0 → x=10.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Setze ich die gefundene Extremstelle wirklich in die URSPRÜNGLICHE Funktion G(x) ein, um den maximalen Gewinn zu berechnen — und nicht versehentlich in G'(x)?"
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