📌 Das Wichtigste in einem Satz
Diese Aufgabe verbindet zwei Themen aus verschiedenen Modulen: die Anzahl X defekter Bauteile ist binomialverteilt mit Erwartungswert E(X)=n·p und Standardabweichung σ(X)=√(n·p·(1−p)) — beide beziehen sich auf die ANZAHL. Für ein Konfidenzintervall des ANTEILSWERTS p braucht man dagegen den Standardfehler σ in PROZENTPUNKTEN (aus K8 Modul 10) — das ist eine ANDERE Größe als σ(X), auch wenn beide "Standardabweichung" oder "Standardfehler" heißen. Die beiden unterscheiden sich um den Faktor n.
E(X)=n·p, σ(X)=√(n·p·(1−p)) — beziehen sich auf die ANZAHL X. Für das Konfidenzintervall des Anteilswerts braucht man σ in PROZENTPUNKTEN, eine andere Größe.
Beispiel 1
Eine Fabrik prüft eine Stichprobe von n=400 Bauteilen. Der Hersteller behauptet, der Ausschussanteil liegt bei p=20 %. X sei die Anzahl der defekten Bauteile (binomialverteilt). Berechne den Erwartungswert E(X).
n=400, p=20 % — gesucht: E(X)
- E(X)=80, denn E(X)=n·p=400·0,2=80
- E(X)=20, den Prozentsatz direkt als Anzahl übernommen
- E(X)=400, die Stichprobengröße selbst als Antwort übernommen
So kommst du darauf: E(X)=n·p=400·0,2=80.
Beispiel 2
Dieselbe Stichprobe (n=400, p=20 %). Berechne die Standardabweichung σ(X) der Anzahl defekter Bauteile: σ(X)=√(n·p·(1−p)).
n=400, p=20 % — gesucht: σ(X)
- σ(X)=8, denn σ(X)=√(400·0,2·0,8)=8
- σ(X)=2, den Standardfehler des Anteilswerts (in Prozentpunkten) statt der Anzahl verwendet
- σ(X)=64, die Wurzel vergessen
So kommst du darauf: σ(X)=√(400·0,2·0,8)=√64=8.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Kann ich sicher unterscheiden, wann ich die Standardabweichung der ANZAHL X brauche, und wann den Standardfehler des ANTEILSWERTS in Prozentpunkten?"
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