📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Modul 1 und Modul 2: statt Rechtecke und Dreiecke einzeln zu zählen, berechnet man ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a), wobei F eine BELIEBIGE Stammfunktion von f ist. Man setzt die OBERE Grenze b in F ein, dann die UNTERE Grenze a, und zieht ab — nie umgekehrt. Diese eine Formel funktioniert für JEDE Funktion, nicht nur für Rechtecke und Dreiecke wie in Lektion 1.
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a). Obere Grenze zuerst einsetzen, dann untere Grenze abziehen.
Beispiel 1
f(x)=6x. Eine Stammfunktion ist F(x)=3x². Berechne ∫₁³f(x)dx mit dem Hauptsatz.
∫₁³f(x)dx, F(x)=3x²
- 24, denn ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)=F(3)−F(1)=27−(3)=24
- −24, die Grenzen vertauscht: F(1)−F(3) statt F(3)−F(1)
- 27, nur F(3) berechnet, das Abziehen von F(1) vergessen
So kommst du darauf: F(3)−F(1)=27−3=24.
Beispiel 2
Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, wenn F eine Stammfunktion von f ist?
Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x)dx = ?
- ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a) — obere Grenze minus untere Grenze
- ∫ₐᵇ f(x)dx = F(a)−F(b) — untere minus obere Grenze
- ∫ₐᵇ f(x)dx = f(b)−f(a) — die Funktion selbst, nicht die Stammfunktion
So kommst du darauf: Immer obere Grenze zuerst: F(b)−F(a).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch die Reihenfolge — obere Grenze zuerst, dann untere Grenze abziehen, nicht umgekehrt?"
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