📌 Das Wichtigste in einem Satz
Liegt der Graph von f UNTER der x-Achse (f(x)≤0), ist das bestimmte Integral NEGATIV — das Vorzeichen zeigt die Lage an. Der tatsächliche (geometrische) Flächeninhalt ist aber immer ≥0: man bildet den BETRAG des Integralwerts. Wechselt f(x) im Intervall das Vorzeichen (Nullstelle dazwischen), darf man NICHT einfach das gesamte Integral ∫ₐᵇf(x)dx berechnen — dabei würden sich positive und negative Teilflächen gegenseitig aufheben. Stattdessen: erst bei der Nullstelle aufteilen, dann für jedes Teilintervall den Betrag bilden, dann addieren.
Flächeninhalt=|Integralwert|. Bei Vorzeichenwechsel: erst aufteilen, dann Beträge addieren — NICHT einfach das Gesamtintegral nehmen.
Beispiel 1
Es gilt ∫₀³f(x)dx=−7, und f(x)<0 für alle x im Intervall [0;3]. Was bedeutet das negative Vorzeichen?
∫₀³f(x)dx=−7, f(x)<0 auf [0;3]
- Der Graph von f liegt im gesamten Intervall UNTER der x-Achse — das negative Vorzeichen zeigt die Lage an, der tatsächliche Flächeninhalt (immer ≥0) ist der Betrag: 7
- Es gibt in diesem Intervall gar keine Fläche zwischen Graph und x-Achse
- Der tatsächliche Flächeninhalt ist selbst negativ, also −7
So kommst du darauf: Flächeninhalt=|−7|=7.
Beispiel 2
Es gilt ∫₁⁵f(x)dx=−5, und f(x)<0 für alle x im Intervall [1;5]. Was bedeutet das negative Vorzeichen?
∫₁⁵f(x)dx=−5, f(x)<0 auf [1;5]
- Der Graph von f liegt im gesamten Intervall UNTER der x-Achse — das negative Vorzeichen zeigt die Lage an, der tatsächliche Flächeninhalt (immer ≥0) ist der Betrag: 5
- Es gibt in diesem Intervall gar keine Fläche zwischen Graph und x-Achse
- Der tatsächliche Flächeninhalt ist selbst negativ, also −5
So kommst du darauf: Flächeninhalt=|−5|=5.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich bei einem Vorzeichenwechsel von f(x) erst aufteilen und dann die BETRÄGE addieren muss, statt einfach das ganze Integral zu berechnen?"
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