📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 2 im Überblick: ∫ₐᵇf(x)dx ist (für f(x)≥0) der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse. Der Hauptsatz berechnet ihn als F(b)−F(a), mit F als beliebiger Stammfunktion von f. Bei mehreren Termen wird jeder Term einzeln aufgeleitet. Die Rechenregeln (Faktor-, Summenregel, Intervalladditivität, Vertauschen) machen das Rechnen flexibler. Und: ein negativer Integralwert bedeutet, der Graph liegt unter der x-Achse — der tatsächliche Flächeninhalt ist immer der Betrag, bei Vorzeichenwechsel die Summe der Beträge der Teilflächen.
∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). Flächeninhalt=|Integralwert| (bei Vorzeichenwechsel: Summe der Beträge).
Beispiel 1
f(x)=4 ist eine konstante Funktion. Bestimme den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und den Geraden x=1 und x=5.
f(x)=4, Intervall [1;5]
- A=16, denn die Fläche ist ein Rechteck mit Breite 5−1=4 und Höhe 4: A=4·4=16
- A=20, die obere Grenze 5 statt der Breite 4 verwendet
- A=4, nur die Höhe angegeben, aber nicht mit der Breite multipliziert
So kommst du darauf: Breite 5−1=4, Höhe 4, A=4·4=16.
Beispiel 2
f(x)=6x. Eine Stammfunktion ist F(x)=3x². Berechne ∫₁³f(x)dx mit dem Hauptsatz.
∫₁³f(x)dx, F(x)=3x²
- 24, denn ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a)=F(3)−F(1)=27−(3)=24
- −24, die Grenzen vertauscht: F(1)−F(3) statt F(3)−F(1)
- 27, nur F(3) berechnet, das Abziehen von F(1) vergessen
So kommst du darauf: F(3)−F(1)=27−3=24.
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„Welches der fünf Themen aus Modul 2 fällt mir noch am schwersten — Flächendeutung, Hauptsatz, Integrale selbst berechnen, Rechenregeln, oder orientierte Flächen?"
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