📌 Das Wichtigste in einem Satz
Steckt im Funktionsterm statt einer reinen Variable x ein linearer Ausdruck (kx+d), kommt beim Aufleiten ein ZUSÄTZLICHER Divisionsfaktor k dazu — die Ableitung des inneren Terms. Bei Potenzen: ∫a(kx+d)ⁿdx=(a/(k(n+1)))(kx+d)ⁿ⁺¹+C. Bei Exponentialfunktionen: ∫a·e^(kx+d)dx=(a/k)e^(kx+d)+C. Bei sin/cos: dieselbe Division durch k, plus die bekannte Minus-Regel bei sin. Grund: die Kettenregel erzeugt beim Ableiten diesen Faktor k, den man beim Aufleiten durch Division wieder ausgleicht.
Bei (kx+d) statt x: immer zusätzlich durch k teilen — die Ableitung des inneren linearen Terms.
Beispiel 1
Bestimme eine Stammfunktion von f(x)=−27(3x+1)²
f(x)=−27(3x+1)²
- F(x)=−3(3x+1)³, denn man erhöht den Exponenten um 1 (auf 3) UND teilt zusätzlich durch 3 (die Ableitung von 3x+1): −27:(3·3)=−3
- F(x)=−9(3x+1)³, den zusätzlichen Divisionsfaktor 3 (aus der Kettenregel) vergessen
- F(x)=−27(3x+1)³, den Exponenten nicht erhöht
So kommst du darauf: −27:(3·3)=−27:9=−3.
Beispiel 2
Warum muss man bei der Stammfunktion von f(x)=(3x−2)ⁿ zusätzlich durch 3 teilen — anders als bei einer reinen Potenz xⁿ?
Warum durch 3 teilen bei (3x−2)ⁿ?
- Weil beim Ableiten von (3x−2)ⁿ⁺¹ über die Kettenregel ein zusätzlicher Faktor 3 (die Ableitung des inneren Terms 3x−2) entsteht — beim Aufleiten muss dieser Faktor durch Division wieder ausgeglichen werden
- Weil der Exponent n bei einem linearen inneren Term immer um 3 statt um 1 erhöht wird
- Es ist reine Konvention ohne mathematischen Grund, man könnte genauso gut nicht durch 3 teilen
So kommst du darauf: Die Kettenregel erzeugt beim Ableiten den Faktor 3.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich bei (kx+d) IMMER zusätzlich durch k teilen muss — egal ob Potenz, e-Funktion oder sin/cos?"
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