📌 Das Wichtigste in einem Satz
Wird nach der Fläche gefragt, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt, OHNE dass Grenzen gegeben sind, sind die Nullstellen von f die Integralgrenzen — dort schneidet der Graph die x-Achse. Ist f(x)≤0 im gesamten Intervall, wird das bestimmte Integral negativ — der Flächeninhalt ist dann der BETRAG des Ergebnisses: A=|F(b)−F(a)|. Bei mehrtermigen Stammfunktionen müssen ALLE Terme ausgewertet werden, keiner darf beim Einsetzen der Grenzen fehlen.
Ohne Grenzen: Nullstellen finden und als Grenzen verwenden. A=|F(b)−F(a)|, bei mehreren Termen alle auswerten.
Beispiel 1
Man soll die Fläche berechnen, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt — es sind KEINE Grenzen a und b gegeben. Was ist der erste Schritt?
Fläche mit x-Achse — ohne gegebene Grenzen
- Die Nullstellen von f bestimmen — diese sind die Grenzen des Integrals
- Die Ableitung f' berechnen und deren Nullstellen als Grenzen verwenden
- Irgendein beliebiges Intervall wählen, z.B. [−5;5], das funktioniert immer
So kommst du darauf: Der Graph schneidet die x-Achse genau bei den Nullstellen von f.
Beispiel 2
f(x)=9x(4−x) hat Nullstellen bei x=0 und x=4. Bestimme den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse zwischen diesen Nullstellen einschließt.
f(x)=9x(4−x), Nullstellen x=0, x=4
- A=96, denn mit F(x)=−3x³+18x² (BEIDE Terme der Stammfunktion) gilt F(4)−F(0)=96−0=96
- A=192, nur den ersten Term der Stammfunktion (−3x³) verwendet, den zweiten Term (18x²) vergessen
- A=288, nur den zweiten Term der Stammfunktion (18x²) verwendet, den ersten Term (−3x³) vergessen
So kommst du darauf: F(4)−F(0)=96−0=96.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch: wenn keine Grenzen gegeben sind, sind die Nullstellen von f die Grenzen — und der Flächeninhalt ist immer der Betrag?"
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