📌 Das Wichtigste in einem Satz
Kennt man die Änderungsrate r(t) einer Größe (z. B. den Zufluss in einen Wasserbehälter) und den Anfangsbestand B(0), lässt sich der Bestand B(q) zu jedem späteren Zeitpunkt rekonstruieren: B(q)=B(0)+∫₀ᵠr(t)dt. Man integriert die Änderungsrate über [0;q] — das liefert die GESAMTE Veränderung seit t=0 — und addiert diese Veränderung zum Anfangsbestand. Wichtig: r(t) selbst an einer Stelle auszuwerten (z. B. r(q)) liefert nur die MOMENTANE Rate, nicht die aufsummierte Veränderung — dafür braucht es das Integral.
B(q)=B(0)+∫₀ᵠr(t)dt. Den Anfangsbestand nicht vergessen, und r(t) wirklich integrieren, nicht nur auswerten.
Beispiel 1
Ein Wasserbehälter hat zum Zeitpunkt t=0 einen Bestand von B(0) Liter. r(t) beschreibt den Zufluss in Liter/min. Wie berechnet man den Bestand B(q) zum Zeitpunkt t=q?
Bestand B(q) aus der Änderungsrate r(t) — welche Formel?
- B(q)=B(0)+∫₀ᵠr(t)dt — Anfangsbestand plus das Integral der Änderungsrate
- B(q)=∫₀ᵠr(t)dt — den Anfangsbestand vergessen
- B(q)=B(0)·∫₀ᵠr(t)dt — multipliziert statt addiert
So kommst du darauf: Anfangsbestand PLUS das Integral der Änderungsrate.
Beispiel 2
Warum liefert r(q) allein (ohne zu integrieren) nicht den Bestandsunterschied seit t=0?
Warum reicht r(q) allein nicht?
- Weil r(q) nur die MOMENTANE Rate zum Zeitpunkt q ist — die Rate kann sich über das ganze Intervall verändert haben, das Integral summiert all diese Momentanwerte korrekt auf
- r(q) und das Integral von r ergeben eigentlich immer denselben Wert
- r(q) ist nur bei negativen Raten ungenau, bei positiven Raten stimmt es
So kommst du darauf: Integrieren summiert alle Momentanwerte über das Intervall, r(q) ist nur EIN Momentanwert.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Verwechsle ich manchmal die MOMENTANE Änderungsrate r(q) mit der AUFSUMMIERTEN Veränderung ∫₀ᵠr(t)dt?"
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