📌 Das Wichtigste in einem Satz
Kennt man die Grenzkostenfunktion K'(x) eines Betriebs (die Kosten für JEDE zusätzliche Einheit) und die Fixkosten K(0) (die Kosten bei Produktionsmenge 0 — z. B. Miete, Maschinen), lässt sich die Gesamtkostenfunktion rekonstruieren: K(q)=K(0)+∫₀ᵠK'(x)dx. Man integriert die Grenzkosten über [0;q] — das liefert die VARIABLEN Kosten (die Kosten, die mit der Produktionsmenge wachsen) — und addiert diese zu den Fixkosten. Diese Anwendung ist ein Spezialfall des allgemeinen Bestand-aus-Änderungsrate-Prinzips aus Lektion 2, hier mit einer Grenzkostenfunktion K'(x)=ax+b statt einer einfachen Rate.
K(q)=K(0)+∫₀ᵠK'(x)dx. Fixkosten nicht vergessen, und beim Integrieren den Exponenten korrekt erhöhen.
Beispiel 1
K'(x) ist die Grenzkostenfunktion eines Betriebs, K(0) sind die Fixkosten. Wie berechnet man die Gesamtkosten K(q) bei einer Produktionsmenge von q Stück?
Gesamtkosten K(q) aus der Grenzkostenfunktion K'(x) — welche Formel?
- K(q)=K(0)+∫₀ᵠK'(x)dx — die Fixkosten PLUS das Integral der Grenzkosten
- K(q)=∫₀ᵠK'(x)dx — die Fixkosten vergessen
- K(q)=K(0)·∫₀ᵠK'(x)dx — multipliziert statt addiert
So kommst du darauf: Fixkosten PLUS das Integral der Grenzkosten.
Beispiel 2
Warum ist die Stammfunktion von K'(x)=2x+6 gleich x²+6x, und nicht 2x²+6x?
Warum ist die Stammfunktion von 2x nicht 2x²?
- Weil beim Integrieren der Exponent um 1 erhöht wird UND man durch den neuen Exponenten teilt: ∫2x dx=2/2·x²=x²
- Weil man beim Integrieren einfach den Exponenten erhöht, ohne zu teilen
- Es ist eigentlich egal, beide Stammfunktionen sind richtig
So kommst du darauf: ∫axⁿdx=a/(n+1)·x^(n+1) — Exponent erhöhen UND durch den neuen Exponenten teilen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass K'(x)=ax+b beim Integrieren zu (a/2)x²+bx wird — nicht zu ax²+bx?"
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