📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 6 im Überblick: Der Mittelwert einer Funktion ist m=1/(b−a)·∫ₐᵇf(x)dx — erst integrieren, dann durch die Intervalllänge teilen. Ein Bestand lässt sich aus seiner Änderungsrate rekonstruieren: B(q)=B(0)+∫₀ᵠr(t)dt — Integral der Rate PLUS Anfangsbestand. Bei Bewegungsvorgängen ist die Verschiebung einfach ∫v(t)dt, die zurückgelegte Strecke bei Vorzeichenwechsel aber die Summe der BETRÄGE der Teilintegrale. Und Gesamtkosten ergeben sich aus K(q)=K(0)+∫₀ᵠK'(x)dx — Fixkosten plus das Integral der Grenzkostenfunktion.
Mittelwert: m=1/(b−a)∫f(x)dx. Bestand: B(0)+∫r(t)dt. Strecke: Σ|Teilintegrale|. Kosten: K(0)+∫K'(x)dx.
Beispiel 1
Warum ist die zurückgelegte STRECKE nicht immer gleich der VERSCHIEBUNG, wenn v(t) das Vorzeichen wechselt?
Warum unterscheiden sich Strecke und Verschiebung?
- Weil sich bei der Verschiebung positive und negative Anteile aufheben können, während bei der Strecke die BETRÄGE addiert werden
- Strecke und Verschiebung sind eigentlich immer identisch
- Die Verschiebung ist immer größer als die Strecke
So kommst du darauf: Bei der Strecke zählen die Beträge, bei der Verschiebung das Vorzeichen.
Beispiel 2
Warum muss man beim Mittelwert einer Funktion NACH dem Integrieren noch durch die Intervalllänge teilen?
Warum reicht das Integral allein nicht für den Mittelwert?
- Weil das Integral nur die (mit Vorzeichen versehene) Fläche liefert — für einen DURCHSCHNITT muss man diese Fläche noch auf die Breite des Intervalls verteilen
- Es ist reine Konvention, mathematisch nicht notwendig
- Nur bei negativen Funktionswerten ist das Teilen nötig
So kommst du darauf: Ein Durchschnitt ist immer „Summe geteilt durch Anzahl" — hier „Fläche geteilt durch Breite".
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der vier Themen aus Modul 6 fällt mir noch am schwersten — Mittelwert, Bestandsrekonstruktion, Kinematik, oder Kostenfunktionen?"
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