📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine Bruchgleichung wie (x+a)/(x+b)=k löst man, indem man kreuzweise multipliziert: x+a=k·(x+b). Das ergibt eine gewöhnliche lineare Gleichung, die man wie üblich nach x auflöst. WICHTIG: Bevor man die gefundene Lösung als Endergebnis angibt, muss man sie mit der Definitionsmenge vergleichen — der Nenner darf nämlich niemals null werden. Aus x+b=0 folgt x≠−b. Stimmt die gefundene Lösung zufällig mit diesem ausgeschlossenen Wert überein, ist sie UNGÜLTIG, obwohl die Umformung korrekt war.
(x+a)/(x+b)=k → x+a=k·(x+b) → nach x auflösen → mit x≠−b vergleichen.
Beispiel 1
Beim Lösen der Bruchgleichung (x+5)/(x+2)=3 erhält man nach dem Umformen eine Lösung x. Warum muss man diese IMMER mit der Definitionsmenge vergleichen?
Warum die Lösung mit der Definitionsmenge vergleichen?
- Weil x=−2 den Nenner (x+2) null machen würde — eine Lösung außerhalb der Definitionsmenge ist ungültig
- Das ist nicht nötig — jede algebraisch korrekt hergeleitete Lösung ist automatisch gültig
- Nur bei Wurzelgleichungen ist die Probe nötig, bei Bruchgleichungen nicht
So kommst du darauf: Der Nenner darf niemals null werden.
Beispiel 2
Löse die Bruchgleichung (x+5)/(x+1)=−3 (mit x≠−1).
(x+5)/(x+1)=−3
- x=−2, denn x+5=−3·(x+1) führt zu x=−2, und −2≠−1 — die Lösung ist gültig
- x=−1, den ausgeschlossenen Wert der Definitionsmenge als Lösung angegeben
- x=5, nur die Zahl aus dem Zähler übernommen
So kommst du darauf: x+5=−3x−3 → 4x=−8 → x=−2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Vergesse ich manchmal, die gefundene Lösung mit der Definitionsmenge zu vergleichen?"
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