📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 8 im Überblick: Bei der Verkettung (f∘g)(x)=f(g(x)) setzt man ZUERST g ein, dann das Ergebnis in f — die Reihenfolge zählt, Verkettung ist nicht kommutativ. Die Umkehrfunktion f⁻¹ findet man, indem man y=f(x) nach x AUFLÖST, nicht durch bloßes Umbenennen. Bei Transformationen g(x)=a·f(x−h)+k verschiebt sich die x-Koordinate um h (gegenläufig zum Vorzeichen), die y-Koordinate wird mit a multipliziert und um k verschoben. Und bei Sachaufgaben entscheidet Betrag versus Faktor über den Funktionstyp: fester Betrag → linear, fester Faktor → exponentiell, konstante Beschleunigung → quadratisch.
Verkettung: erst g, dann f. Umkehrfunktion: nach x auflösen. Transformation: (p+h|a·q+k). Modellierung: Betrag→linear, Faktor→exponentiell.
Beispiel 1
f(x)=2x+1 und g(x)=x+3. Berechne (f∘g)(2)=f(g(2)).
f(x)=2x+1, g(x)=x+3, gesucht: f(g(2))
- 11, denn g(2)=5, also f(g(2))=f(5)=11
- 8, die Reihenfolge vertauscht — g(f(2)) statt f(g(2)) berechnet
- 10, f(2) und g(2) einzeln berechnet und ADDIERT
So kommst du darauf: g(2)=5, f(5)=11.
Beispiel 2
Der Punkt (2|3) liegt auf dem Graphen von f. g(x)=2·f(x−1)+1. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von g?
(2|3) auf f, g(x)=2·f(x−1)+1 — welcher Punkt auf g?
- (3|7), denn die x-Koordinate wird zu 2+1=3, und die y-Koordinate wird zu 2·3+1=7
- (3|4), die y-Koordinate NICHT mit 2 multipliziert, nur 1 addiert
- (1|7), die Verschiebungsrichtung in x-Richtung falsch herum angewendet
So kommst du darauf: x: 2+1=3. y: 2·3+1=7.
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„Welches der vier Themen aus Modul 8 fällt mir noch am schwersten — Verkettung, Umkehrfunktionen, Transformationen, oder das Erkennen des Funktionstyps?"
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