📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine Kurvenschar wie f_a(x)=x³−a·x beschreibt unendlich viele Funktionen auf einmal — eine für jeden Wert des Parameters a. Um einen bestimmten Wert von a zu finden, setzt man die gegebene BEDINGUNG ein (ein Punkt, eine Extremstelle, ein bestimmtes Verhalten) und löst die entstehende Gleichung nach a auf — genau wie bei jeder anderen Gleichung, nur dass jetzt a die gesuchte Unbekannte ist und x eine bekannte Zahl. Manche Punkte (wie hier der Ursprung) liegen auf JEDER Kurve der Schar, egal welchen Wert a hat — das erkennt man daran, dass der Term mit a an dieser Stelle verschwindet.
Bedingung einsetzen (Punkt oder Extremstelle f_a'(x0)=0), dann nach a auflösen.
Beispiel 1
Die Kurvenschar f_a(x)=x³−a·x hat für JEDEN Wert des Parameters a einen gemeinsamen Punkt. Welchen?
f_a(x)=x³−a·x — gemeinsamer Punkt aller Kurven?
- Den Ursprung (0|0), denn f_a(0)=0³−a·0=0 für JEDEN Wert von a
- Es gibt keinen gemeinsamen Punkt
- Den Punkt (1|1), weil x=1 einen festen Wert ergibt
So kommst du darauf: Bei x=0 fällt der Term −a·x immer weg.
Beispiel 2
Die Kurvenschar f_a(x)=x³−a·x geht durch den Punkt (−2|−12). Für welchen Wert von a gilt das?
f_a(x)=x³−a·x durch (−2|−12) — gesucht: a
- a=−2, denn (−2)³−a·(−2)=−12 führt zu a·(−2)=−8+12=4, also a=−2
- a=2, das Vorzeichen beim Umformen nicht umgedreht
- a=6, einfach y0 durch x0 geteilt, ohne x0³ zu berücksichtigen
So kommst du darauf: −8+12=4, 4:(−2)=−2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Erkenne ich, ob eine Bedingung sich auf einen PUNKT (f_a(x0)=y0) oder eine EXTREMSTELLE (f_a'(x0)=0) bezieht, bevor ich die Gleichung aufstelle?"
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