📌 Das Wichtigste in einem Satz
In Modul 5 hast du gelernt, wie man das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse berechnet: V=π∫[f(x)]²dx. Rotiert man stattdessen um die y-ACHSE, ändert sich die Rolle von x und y: der Radius jedes Kreisquerschnitts ist jetzt der x-Abstand von der y-Achse, und dieser hängt von y ab. Deshalb muss man zuerst x als Funktion von y ausdrücken (x=g(y), durch Auflösen der Gleichung nach x) und dann über y integrieren: V=π∫[g(y)]²dy. Die Methode ist dieselbe wie bei der x-Achse — quadrieren, integrieren, mit π multiplizieren — nur mit vertauschten Rollen von x und y.
y-Achsen-Rotation: x=g(y) bestimmen (nach x auflösen), dann V=π∫[g(y)]²dy — über y integrieren.
Beispiel 1
Bei der Rotation um die x-Achse verwendet man V=π∫[f(x)]²dx. Warum reicht diese Formel NICHT, wenn man um die y-Achse rotiert?
Warum braucht man bei y-Achsen-Rotation eine andere Formel?
- Weil der Radius jedes Kreisquerschnitts der x-Abstand von der y-Achse ist — man braucht x als Funktion von y und integriert über y
- Die Formel funktioniert für beide Achsen identisch
- Man muss nur das Vorzeichen von f(x) umdrehen
So kommst du darauf: x=g(y) und über y integrieren, nicht über x.
Beispiel 2
Die Gerade y=3x soll um die y-Achse rotiert werden. Wie lautet x als Funktion von y?
y=3x — wie lautet x=g(y)?
- x=y/3, denn aus y=3x folgt x=y/3, also durch 3 dividiert
- x=3y, x und y einfach vertauscht
- x=y−3, die falsche Rechenoperation
So kommst du darauf: y=3x nach x auflösen: durch 3 teilen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Achte ich darauf, bei y-Achsen-Rotation wirklich x als Funktion von y auszudrücken, statt versehentlich mit der x-Achsen-Formel weiterzurechnen?"
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