📌 Das Wichtigste in einem Satz
Manchmal kennt man keine Stammfunktion für f — oder man hat nur einzelne MESSWERTE statt einer Formel. Dann kann man das bestimmte Integral NÄHERUNGSWEISE berechnen, indem man die Fläche unter der Kurve durch TRAPEZE annähert. Bei drei gleich weit auseinanderliegenden Stützstellen x0, x1, x2 (Abstand h) mit Funktionswerten y0, y1, y2 lautet die Trapezregel: T=h/2·(y0+2y1+y2). Der mittlere Wert y1 bekommt den Faktor 2, weil er die gemeinsame Seite von ZWEI benachbarten Trapezen ist — er wird also in der Summe der beiden Trapezflächen zweimal gezählt. Die Randwerte y0 und y2 gehören dagegen nur zu jeweils einem Trapez.
T=h/2·(y0+2y1+y2). Der mittlere Wert (innerer Stützpunkt) bekommt Faktor 2, die Randwerte Faktor 1.
Beispiel 1
Bei der Trapezregel mit den Stützstellen x0, x1, x2 lautet die Formel T=h/2·(y0+2y1+y2). Warum hat y1 den Faktor 2, y0 und y2 aber nicht?
Warum hat der mittlere Funktionswert den Faktor 2?
- Weil y1 zu ZWEI benachbarten Trapezen gehört und deshalb doppelt gezählt wird
- Der Faktor 2 ist reine Konvention ohne inhaltlichen Grund
- Weil y1 immer der größte der drei Werte ist
So kommst du darauf: y1 ist die gemeinsame Seite von zwei Trapezen.
Beispiel 2
Warum liefert die Trapezregel nur eine NÄHERUNG für das Integral, kein exaktes Ergebnis?
Warum ist die Trapezregel nur eine Näherung?
- Weil ein Trapez die Kurve zwischen zwei Punkten durch eine GERADE Linie ersetzt — bei gekrümmten Funktionen weicht die tatsächliche Fläche unter der Kurve von der Trapezfläche ab
- Die Trapezregel liefert immer das exakte Ergebnis, genau wie die echte Integration
- Die Näherung ist nur bei negativen Funktionswerten ungenau
So kommst du darauf: Eine gerade Linie zwischen zwei Punkten ist nur bei linearen Funktionen exakt.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Vergesse ich manchmal, die gewichtete Summe am Ende noch mit h/2 zu multiplizieren?"
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