📌 Das Wichtigste in einem Satz
Diese Lektion verbindet zwei Dinge, die du schon kennst: Extremstellen (aus der Differentialrechnung, K7) und Bestand-aus-Änderungsrate (aus der Integralrechnung, Modul 6). Der Schlüssel ist der Hauptsatz: die Änderungsrate r(t) IST die Ableitung des Bestands, r(t)=B'(t). Da eine Funktion genau dort eine Extremstelle hat, wo ihre Ableitung das Vorzeichen wechselt, hat der Bestand B(t) genau dort eine Extremstelle, wo r(t) das Vorzeichen wechselt. Wechselt r(t) von PLUS zu MINUS, hat B ein MAXIMUM (B wächst erst, fällt dann). Wechselt r(t) von MINUS zu PLUS, hat B ein MINIMUM (B fällt erst, wächst dann).
r(t)=B'(t). Extremstelle von B: löse r(t)=0. Vorzeichenwechsel +→− bei r: Maximum. −→+: Minimum.
Beispiel 1
Ein Bestand B(t) hat die Änderungsrate r(t)=B'(t). Warum hat B(t) genau dort eine Extremstelle, wo r(t) das Vorzeichen wechselt?
Warum liegt eine Extremstelle von B(t) genau bei einem Vorzeichenwechsel von r(t)?
- Weil r(t)=B'(t) die ABLEITUNG von B ist — eine Funktion hat genau dort eine Extremstelle, wo ihre Ableitung das Vorzeichen wechselt
- Weil r(t) und B(t) über den Hauptsatz eigentlich immer denselben Wert haben
- Weil ein Vorzeichenwechsel von r(t) automatisch bedeutet, dass B(t)=0 wird
So kommst du darauf: r(t)=B'(t), Extremstellen liegen bei Vorzeichenwechseln der Ableitung.
Beispiel 2
Ein Bestand B(t) hat die Änderungsrate r(t)=−2t−2. Bei t=−1 gilt r(−1)=0. Hat B(t) dort ein MAXIMUM oder ein MINIMUM?
r(t)=−2t−2, Nullstelle bei t=−1 — Maximum oder Minimum?
- Maximum, denn r(t) hat die Steigung −2 und wechselt bei t=−1 das Vorzeichen von PLUS zu MINUS
- Minimum, das Vorzeichen falsch herum interpretiert
- Weder Maximum noch Minimum
So kommst du darauf: Negative Steigung von r → Vorzeichenwechsel +→− → Maximum.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Verstehe ich wirklich, warum r(t)=B'(t) der Schlüssel ist, um von der Änderungsrate zu den Extremstellen des Bestands zu kommen?"
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