Brüche gehören zu den Themen, an denen viele in der Mathematik hängen bleiben. Meist liegt es nicht an der Rechnung selbst, sondern an einer Regel, die man auswendig gelernt hat, ohne zu wissen, warum sie gilt. Hier steht zu jeder Regel auch der Grund. Bruchrechnen lernen Schülerinnen und Schüler in der Regel in der 5. und 6. Schulstufe.
Was ein Bruch ist
Ein Bruch beschreibt Teile eines Ganzen. Der Nenner unten sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt wird. Der Zähler oben sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind. 34 heißt also: Das Ganze ist in vier gleiche Teile geteilt, und wir nehmen drei davon.
Ein Bruch ist auch eine Divisionsaufgabe: 34 bedeutet 3 : 4 = 0,75. Drei Pizzen für vier Kinder ergeben pro Kind 34 Pizza.
Kürzen und Erweitern
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, beim Kürzen dividierst du beide durch dieselbe Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt gleich, denn das Ganze wird nur feiner oder gröber geschnitten.
Beispiele
Kürzen: 68 = 34 (beide durch 2)
Erweitern: 23 = 812 (beide mal 4)
Gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Am schnellsten kürzt du mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) in einem Schritt.
Brüche addieren und subtrahieren
Gleichnamige Brüche (gleicher Nenner) addierst und subtrahierst du, indem du nur die Zähler rechnest. Der Nenner bleibt, weil sich die Größe der Teile nicht ändert.
Gleicher Nenner
27 + 37 = 57
59 − 29 = 39 = 13
Ungleichnamige Brüche musst du erst auf einen gemeinsamen Nenner bringen, den Hauptnenner. Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Danach rechnest du wie oben.
Verschiedene Nenner
12 + 13: Hauptnenner 6. Es ist 36 + 26 = 56.
34 − 16: Hauptnenner 12. Es ist 912 − 212 = 712.
Brüche multiplizieren
Hier brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Du multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Das passt zur Idee „ein Anteil von einem Anteil“: 23 von 35 bedeutet 23 · 35.
Beispiele
23 · 35 = 615 = 25
Schneller: vorher kürzen. Die 3 oben und die 3 unten fallen weg, es bleibt 25.
3 · 25 = 65 = 1 15
Brüche dividieren
Durch einen Bruch teilst du, indem du mit seinem Kehrwert multiplizierst. Den Kehrwert bekommst du, wenn du Zähler und Nenner vertauschst: Der Kehrwert von 25 ist 52.
Der Grund: In ein Ganzes passen fünf Fünftel. Wie oft passen zwei Fünftel hinein? Es sind 52 mal, also 1 : 25 = 52.
Beispiel
34 : 25 = 34 · 52 = 158 = 1 78
Typische Fehler
- Nenner mit addiert: 12 + 13 ergibt nicht 25. Bei verschiedenen Nennern ist das Ganze unterschiedlich fein geteilt, deshalb braucht es zuerst den Hauptnenner.
- Beim Multiplizieren einen gemeinsamen Nenner gesucht: Das ist unnötig. Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
- Falschen Bruch umgedreht: Beim Dividieren drehst du nur den zweiten Bruch um, den Divisor.
- Am Ende nicht gekürzt: 615 ist richtig, aber erst 25 ist die fertige Antwort.
Übungsaufgaben mit Lösung
Rechne zuerst selbst und öffne dann die Lösung.
Aufgabe 1: 29 + 49
Lösung: 69 = 23
Aufgabe 2: 56 − 14
Lösung: Hauptnenner 12: 1012 − 312 = 712
Aufgabe 3: 45 : 23
Lösung: 45 · 32 = 1210 = 65 = 1 15
Dazu passende Lektionen
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- Was ein Bruch wirklich sagt2. Klasse, 6. Schulstufe
- Kürzen mit dem ggT2. Klasse, 6. Schulstufe
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- Ungleichnamige Brüche addieren2. Klasse, 6. Schulstufe
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- Bruch mal Bruch2. Klasse, 6. Schulstufe
- Der Kehrwert-Trick2. Klasse, 6. Schulstufe
Häufige Fragen
Wie finde ich den Hauptnenner?
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Für die Nenner 4 und 6 sind es 12, weil 12 das erste Vielfache von 4 ist, das auch in der Reihe der Vielfachen von 6 vorkommt.
Muss ich immer kürzen?
Ein Ergebnis gilt erst als fertig, wenn es gekürzt ist. Beim Multiplizieren darfst du schon vor dem Rechnen über Kreuz kürzen, das spart Arbeit.
Warum multipliziert man beim Dividieren mit dem Kehrwert?
Weil Teilen durch einen Bruch dasselbe ist wie Malnehmen mit seinem Kehrwert. In ein Ganzes passen fünf Fünftel, also 1 : 25 = 52.
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