Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Mit ihm lassen sich Längen berechnen, die man nicht messen kann, zum Beispiel die Höhe, bis zu der eine Leiter reicht. In Österreich kommt er üblicherweise in der 8. Schulstufe vor.
Der Satz
In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten am rechten Winkel Katheten (a und b). Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse (c) und ist immer die längste.
Die Formel
a² + b² = c²
Die Quadrate der beiden Katheten ergeben zusammen das Quadrat der Hypotenuse.
Wichtig: Der Satz gilt nur, wenn ein rechter Winkel vorhanden ist.
Die Hypotenuse berechnen
Sind beide Katheten bekannt, addierst du ihre Quadrate und ziehst dann die Wurzel.
a = 3 cm, b = 4 cm
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5 cm
a = 5 cm, b = 12 cm
c² = 25 + 144 = 169
c = 13 cm
Eine Kathete berechnen
Ist die Hypotenuse bekannt, wird subtrahiert: Vom Quadrat der Hypotenuse ziehst du das Quadrat der bekannten Kathete ab.
c = 10 cm, a = 6 cm
b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64
b = 8 cm
Die Umkehrung: Ist das Dreieck rechtwinklig?
Der Satz funktioniert auch rückwärts. Wenn für die drei Seiten eines Dreiecks a² + b² = c² gilt, hat es einen rechten Winkel.
Seiten 6, 8 und 10
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²
Das Dreieck ist rechtwinklig.
Anwendungen
Leiter an der Wand
Eine Leiter ist 5 m lang. Ihr Fuß steht 1,4 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04
h = 4,8 m
Bildschirm
Ein Bildschirm ist 40 cm breit und 30 cm hoch. Die Diagonale ist √(40² + 30²) = √2500 = 50 cm.
Abstand im Koordinatensystem
A(1 | 2) und B(4 | 6): Der Unterschied der x-Werte ist 3, der der y-Werte 4.
d = √(3² + 4²) = 5
Typische Fehler
- Hypotenuse verwechselt: c ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel, nicht einfach „die dritte Seite“.
- Wurzel vergessen: a² + b² = 25 ist erst c², nicht c.
- Bei der Kathete addiert statt subtrahiert: Ist die Hypotenuse bekannt, rechnest du c² − a².
- Bei einem Dreieck ohne rechten Winkel angewendet: Dann gilt der Satz nicht.
Übungsaufgaben mit Lösung
Rechne zuerst selbst und öffne dann die Lösung.
Aufgabe 1: Katheten 9 cm und 12 cm. Wie lang ist die Hypotenuse?
Lösung: 81 + 144 = 225, also c = 15 cm
Aufgabe 2: Hypotenuse 17 cm, eine Kathete 8 cm. Wie lang ist die andere?
Lösung: 289 − 64 = 225, also b = 15 cm
Aufgabe 3: Ein Quadrat hat die Seitenlänge 6 cm. Wie lang ist die Diagonale?
Lösung: d² = 36 + 36 = 72, also d = √72 ≈ 8,49 cm
Dazu passende Lektionen
Jede Lektion hat eine Vorschau mit Merksatz und Beispielen. Mit Konto gibt es dazu Übungen, Erklärung der Fehler und Wiederholungsplan.
Häufige Fragen
Wann darf ich den Satz des Pythagoras anwenden?
Nur in rechtwinkligen Dreiecken. Mit der Umkehrung kannst du prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Woran erkenne ich die Hypotenuse?
Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite des Dreiecks.
Wie rechne ich eine Kathete aus?
Du subtrahierst: b² = c² − a², und ziehst dann die Wurzel.
Weiter üben mit Mathe Octopus
Unendlich viele frische Aufgaben, Erklärung zu jedem Fehler und ein Wiederholungsplan, der sich deinem Können anpasst. 14 Tage kostenlos, ohne Zahlungsdaten.
Weitere Ratgeber
- Bruchrechnen erklärt: addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividierenKürzen, Hauptnenner, Kehrwert: alle vier Grundrechenarten mit Brüchen, durchgerechnet.
- Prozentrechnen erklärt: Grundwert, Prozentwert und ProzentsatzDie drei Größen, die drei Formeln, Rabatt, Aufschlag und der Unterschied zu Prozentpunkten.
- Dreisatz erklärt: direkte und indirekte ProportionalitätErst auf die Einheit zurückrechnen, dann hochrechnen. Und wann das gar nicht geht.
- Binomische Formeln erklärt: alle drei mit Beispielen(a + b)², (a − b)² und (a + b)(a − b): Muster erkennen statt mühsam ausmultiplizieren.
- Mathe lernen ohne Nachhilfe: 7 Wege, die wirklich helfenFehler verstehen, in kleinen Schritten üben, nach Plan wiederholen. Und wann Nachhilfe doch hilft.