Der Dreisatz ist ein Rechenweg in drei Schritten: Aus einer bekannten Angabe schließt du auf die Einheit und von dort auf die gesuchte Menge. Er funktioniert nur, wenn die beiden Größen zueinander proportional sind. Das zu prüfen ist der eigentliche Denkschritt.
Direkte Proportionalität: mehr gibt mehr
Bei direkter Proportionalität gilt: Doppelt so viel Menge kostet doppelt so viel, die Hälfte kostet die Hälfte.
3 kg Äpfel kosten 6,60 €. Was kosten 5 kg?
Schritt 1: 3 kg kosten 6,60 €.
Schritt 2 (auf eine Einheit): 1 kg kostet 6,60 € : 3 = 2,20 €.
Schritt 3 (hochrechnen): 5 kg kosten 2,20 € · 5 = 11,00 €.
Indirekte Proportionalität: mehr gibt weniger
Bei indirekter (umgekehrter) Proportionalität bedeutet doppelt so viel von der einen Größe nur halb so viel von der anderen. Das Produkt bleibt gleich.
4 Arbeiter brauchen für eine Arbeit 6 Tage. Wie lange brauchen 3 Arbeiter bei gleicher Leistung?
Schritt 1: 4 Arbeiter brauchen 6 Tage.
Schritt 2 (auf eine Einheit): 1 Arbeiter braucht 6 Tage · 4 = 24 Tage.
Schritt 3: 3 Arbeiter brauchen 24 Tage : 3 = 8 Tage.
Achte auf den Unterschied zum ersten Beispiel: Beim Zurückrechnen auf die Einheit wird hier multipliziert, beim Hochrechnen dividiert.
Welche Art liegt vor? Der Verdoppel-Test
Stell dir vor, die eine Größe verdoppelt sich. Verdoppelt sich die andere auch, ist es direkt proportional. Halbiert sie sich, ist es indirekt proportional. Passiert etwas anderes, ist der Dreisatz die falsche Methode.
Wenn der Dreisatz nicht funktioniert
Nicht alles im Alltag ist proportional. Eine Taxifahrt hat zum Beispiel eine Grundgebühr.
Taxi: 4 € Grundgebühr plus 2 € pro Kilometer
5 km kosten 4 € + 10 € = 14 €
10 km kosten 4 € + 20 € = 24 €
Doppelte Strecke, aber nicht doppelter Preis (nicht 28 €). Hier ist ein Dreisatz falsch.
Auch Körpergröße und Alter sind nicht proportional: Ein Kind ist mit 12 Jahren nicht doppelt so groß wie mit 6.
Typische Fehler
- Direkt und indirekt verwechselt: Mehr Arbeiter heißt weniger Zeit, also indirekt.
- Zuerst nicht geprüft, ob proportional: Ohne diese Prüfung kommt auch bei sauberer Rechnung ein falsches Ergebnis heraus.
- Einheiten vergessen: Schreibe bei jedem Schritt dazu, was die Zahl bedeutet („1 kg kostet …“).
Übungsaufgaben mit Lösung
Rechne zuerst selbst und öffne dann die Lösung.
Aufgabe 1: 8 Brötchen kosten 3,20 €. Was kosten 12 Brötchen?
Lösung: 1 Brötchen: 3,20 € : 8 = 0,40 €. 12 Brötchen: 0,40 € · 12 = 4,80 €
Aufgabe 2: Ein Auto braucht für 150 km 9 Liter Benzin. Wie viel für 400 km?
Lösung: 1 km: 9 l : 150 = 0,06 l. 400 km: 0,06 l · 400 = 24 l
Aufgabe 3: 6 Pumpen leeren ein Becken in 10 Stunden. Wie lange brauchen 4 Pumpen?
Lösung: Indirekt: 1 Pumpe braucht 60 Stunden. 4 Pumpen brauchen 60 : 4 = 15 Stunden
Dazu passende Lektionen
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Häufige Fragen
Wann darf ich den Dreisatz verwenden?
Nur wenn die beiden Größen proportional sind, direkt oder indirekt. Prüfe das zuerst mit dem Verdoppel-Test.
Warum rechnet man bei der indirekten Proportionalität anders?
Weil sich die Größen gegenläufig verhalten. Eine Person braucht für dieselbe Arbeit länger als vier Personen, deshalb multiplizierst du beim Zurückrechnen auf eine Einheit.
Gibt es einen Rechenweg ohne Dreisatz?
Ja, über den Proportionalitätsfaktor. Bei direkter Proportionalität ist der Quotient beider Größen konstant, bei indirekter das Produkt.
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