Die binomischen Formeln sind drei feste Muster, mit denen sich Klammern schneller auflösen und Terme einfacher schreiben lassen. Der häufigste Fehler dabei ist die vergessene Mitte. Du siehst hier, warum sie dazugehört.
Die drei Formeln
Merken
1. Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. Formel: (a + b)(a − b) = a² − b²
Bei der ersten und zweiten Formel entstehen drei Glieder, bei der dritten nur zwei, weil sich die Mitte aufhebt.
Warum die Mitte nicht fehlen darf
Quadrieren heißt: mit sich selbst multiplizieren, also (a + b)² = (a + b)(a + b). Beim Ausmultiplizieren kommt jedes Glied mit jedem dran: a·a + a·b + b·a + b·b. Das ergibt a² + 2ab + b².
Zahlenprobe mit a = 3 und b = 4
(3 + 4)² = 7² = 49
3² + 4² = 9 + 16 = 25 (falsch!)
Es fehlen 24, und das ist genau 2 · 3 · 4.
Geometrisch ist das ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b. Es besteht aus einem Quadrat a², einem Quadrat b² und zwei Rechtecken mit der Fläche a · b.
Anwenden
Beispiele
(x + 3)² = x² + 6x + 9
(2x − 5)² = 4x² − 20x + 25
(x + 4)(x − 4) = x² − 16
Bei (2x − 5)² ist a = 2x und b = 5. Beachte, dass auch der Faktor 2 quadriert wird: (2x)² = 4x².
Kopfrechnen mit binomischen Formeln
Beispiele
21² = (20 + 1)² = 400 + 40 + 1 = 441
19 · 21 = (20 − 1)(20 + 1) = 400 − 1 = 399
99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801
Rückwärts: Faktorisieren
Kennst du die Muster, erkennst du sie auch in Summen und kannst sie in ein Produkt verwandeln. Das braucht man später beim Lösen von Gleichungen und Kürzen von Bruchtermen.
Beispiele
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
x² − 6x + 9 = (x − 3)²
9x² − 49 = (3x + 7)(3x − 7)
Typische Fehler
- Mitte vergessen: (a + b)² ist nicht a² + b².
- Faktor 2 vergessen: Die Mitte heißt 2ab, nicht ab.
- Vorzeichen bei der zweiten Formel: Die Mitte ist negativ, aber b² bleibt positiv.
- Dritte Formel mit zwei Summen: (a + b)(a + b) ist die erste Formel, nicht die dritte.
Übungsaufgaben mit Lösung
Rechne zuerst selbst und öffne dann die Lösung.
Aufgabe 1: (x + 7)²
Lösung: x² + 14x + 49
Aufgabe 2: (3a − 2)²
Lösung: 9a² − 12a + 4
Aufgabe 3: (5 + y)(5 − y)
Lösung: 25 − y²
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Häufige Fragen
Wie viele binomische Formeln gibt es?
Drei: (a + b)², (a − b)² und (a + b)(a − b).
Wie erkenne ich, welche Formel ich brauche?
Bei einem quadrierten Ausdruck mit Plus die erste, mit Minus die zweite. Sind es zwei Klammern mit denselben Gliedern und verschiedenen Vorzeichen, die dritte.
Wozu brauche ich die binomischen Formeln?
Zum schnellen Ausmultiplizieren, zum Kopfrechnen und rückwärts zum Faktorisieren, zum Beispiel beim Lösen von Gleichungen.
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